Александр Шаров родился 23 июня 1995 года. Воспитанник «Хоккейной школы С. Макарова» (Челябинск). 

До перехода в «Амур» выступал за команды родного города. 

В составе «Белых Медведей» (МХЛ) провёл 3 сезона, сыграл 172 матча и набрал 110 (56+54) очков. 

В КХЛ дебютировал в 2015 году. В первом сезоне записал в свой актив 6 (3+3) очков в 25 играх.

В ноябре 2020 г. стал игроком «Амура» и с тех пор провёл за Тигров 68 матчей, набрал 18 (13+5) очков.

Нынешней весной вышел на рынок ограниченно свободных агентов, после чего подписал новое однолетнее двустороннее соглашение с хабаровским клубом.